Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，过M作AB的垂直平分线交x轴于N．
（1）求证：；
（2）过A，B的抛物线的切线相交于P，求P的轨迹方程．

Answer

（1）先求AB的垂直平分线，求出AB的垂直平分线交x轴于N的坐标，进而求得，|AB|=x1+x2+p=2x+p，从而问题得证；
（2）先求过A，B的抛物线的切线方程，利用过A，B的抛物线的切线相交于P，可求AB的方程，利用AB过点F，即可求得P的轨迹方程．
（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则
∴AB的垂直平分线为
令y=0，则xN=x+p
∴
∵|AB|=x1+x2+p=2x+p
∴
（2）【解析】
y≥0时，，y′=
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x′，y′），则切线方程为：y1y=p（x+x1），y2y=p（x+x2）
∵过A，B的抛物线的切线相交于P，
∴y′y1=p（x′+x1），y′y2=p（x′+x2）
∴AB的方程为y′y=p（x′+x）
而AB过F
∴
∴
∴P的轨迹方程为