Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，s_n为数列{a_n}的前n项和．已知s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的最大项．

Answer

（1）由a1+3、3a2、a3+4构成等差数列，得到（a1+3）+（a3+4）=2（3a2），又S3=7，得到前三项之和等于7，两者联立即可求出第2项的值，然后设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质利用第2项表示出首项和第3项，代入S3=7中列出关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，根据q大于1，得到满足题意q的值，然后根据q的值求出等比数列的首项，利用首项和q写出数列{an}的通项公式即可；
（2）将（1）中通项代入，利用函数的单调性，即可求得数列{bn}的最大项．
【解析】
（1）由题意得，解得a2=2，
设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=，a3=2q，
又S3=7，可知2q2-5q+2=0，解得q1=2，q2=，
由题意得q＞1，∴q=2．∴a1=1，故数列{an}的通项为an=2n-1
（2）
∵函数（n∈N+）在[1，3]上为减函数，在[4，+∞）上为单调减函数，且n=1时，b1=0，n=4时，b4=6
∴n=4时，函数有最大值，此时最大值为b4=6
∴数列{bn}的最大项为b4=6