Question

已知m，t∈R，函数f （x）=（x-t）³+m．
（I）当t=1时，
（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）处的切线分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）（ i）因为f（1）=1，所以m=1，则f（x）=（x-1）3+1=x3-3x2+3x，而f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，由此能求出函数f（x）的单调递增区间．
（ ii）不等式f（x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，等价于m不小于3x2-3x在区间[1，2]上的最小值，由x∈[1，2]时，，能求出m的取值范围．
（Ⅱ）因为f（x）=x3的对称中心为（0，0），而f（x）=（x-t）3+m可以由f（x）=x3经平移得到，所以f（x）=（x-t）3+m的对称中心为（t，m），故合情猜测，若直线l1与l2平行，则点A与点B关于点（t，m）对称对猜想证明如下：
因为所以f'（x）=3x2-6tx+3t2=3（x-t）2，所以，l1，l2的斜率分别为，．由此能够证明直线l1与l2平行时，点A与点B关于点（t，m）对称．
【解析】
（Ⅰ）（ i）因为f（1）=1，所以m=1，（1分）
则f（x）=（x-1）3+1=x3-3x2+3x，
而f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）． （4分）
（ ii）不等式f（x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，
即不等式3x2-3x-m≤0在区间[1，2]上有解，
即不等式m≥3x2-3x在区间[1，2]上有解，
等价于m不小于3x2-3x在区间[1，2]上的最小值，（6分）
因为x∈[1，2]时，，
所以m的取值范围是[0，+∞）． （9分）
（Ⅱ）因为f（x）=x3的对称中心为（0，0），
而f（x）=（x-t）3+m可以由f（x）=x3经平移得到，
所以f（x）=（x-t）3+m的对称中心为（t，m），
故猜测，若直线l1与l2平行，则点A与点B关于点（t，m）对称．（10分）
对猜想证明如下：
因为所以f'（x）=3x2-6tx+3t2=3（x-t）2
所以，l1，l2的斜率分别为，．
又直线l1与l2平行，所以k1=k2，即，
因为x1≠x2，
所以，x1-t=-（x2-t），（12分）
从而，
所以．
又由上x1+x2=2t，
所以点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1≠x2）关于点（（t，m）对称．
故直线l1与l2平行时，点A与点B关于点（t，m）对称． （14分）