Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆（x+3）²+（y+3）²=r²（r＞0）关于直线x+y+3=0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由．

Answer

（1） 设出对称圆的方程，根据点和它关于直线（对称轴）的对称点与轴垂直且中点在轴上，求出圆心坐标，再把
圆经过的点的坐标代入，可求半径，从而得到圆C的方程．
（2）把PA所在的直线方程代入圆的方程，求得点A的坐标，同理求的B的坐标，据斜率公式求得AB斜率，将它和
直线OP的斜率作对比，斜率相同，且两直线不重合，则得直线OP与AB平行．
【解析】
（1）依题意，可设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，且a、b满足方程组，
由此解得a=b=0．又因为点P（1，1）在圆C上，所以，r2=（1-a）2+（1-b）2=（1+0）2+（1+0）2=2．
故圆C的方程为x2+y2=2．
（2）由题意可知，直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数，
故可设PA所在的直线方程为y-1=k（x-1），PB所在的直线方程为y-1=-k（x-1）．
由消去y，并整理得：（k2+1）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0．①
设A（x1，y1），又已知P（1，1），则x1、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得
 ．同理，若设点B（x2，y2），则可得．
于是==1．
而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP与AB平行．