Question

已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角，得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P
①已知平面内的点A（1，2），B，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标
②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x²-y²=1，求原来曲线C的方程．

Answer

①设P（x，y），则，，根据把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，
可得将绕点A沿逆时针方向旋转后得到，由此可得的坐标，从而可求点P的坐标
②利用旋转变换确定旋转前后，坐标之间的关系，利用已知曲线的方程，我们可以求出原来曲线C的方程．
【解析】
①设P（x，y），则，…（2分）
将绕点A沿逆时针方向旋转后得到，
所以=，=（-1，-3）…（6分）
∴，解得x=0，y=-1 …（7分）
∴点P的坐标为（0，-1）
②设平面内曲线C上的任一点Q（x，y），绕O逆时针方向旋转后得到的点Q′（x′，y′），则
…（10分）
即…（11分）
又x′2-y′2=1 …（12分）
∴…（13分）
化简得：…（14分）