Question

如图，已知曲线C：，．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（Ⅰ）求Q₁，Q₂的坐标；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（I）由Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），知点Pn的坐标为（xn，yn+1），由此能求出点Q1、Q2的坐标；
（II）由Qn，Qn+1在曲线C上，知，，由Pn在曲线Cn上，知，由此能求出数列{an} 的通项公式；
（III）由xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1==2-21-n，知an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）===，由此入手能够证明sn＜．
（I）【解析】
∵Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），
∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）
∵x1=1∴y1=1，∴Q1（x1，y1）即Q1（1，1）
，令x=1则y2=
∴P1的坐标为（x1，y2）即（1，）
令=得x2=
∴Q2（x2，y2）即Q1（，）．-----------------------------------（2分）
（II）【解析】
∵Qn，Qn+1在曲线C上，
∴，，
又∵Pn在曲线Cn上，
∴，--------------------------------（4分）
∴xn+1=xn+2-n，
∴an=2-n．-----------------------------------------（6分）
（III）证明：xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1
=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1
=
=2-21-n．-------------------（9分）
∴an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）===，
∵2•2n-2≥2n，2•2n-1≥3，
∴．--------------------------------（12分）
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
-----------------------（14分）