Question

等比数列{a_n}的前n 项和为S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求a₁-a₃=3，求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）数列{na_n}的前n项的和T_n…

Answer

（Ⅰ）由题意可得2（a1+a2+a3）=a1+（a1+a2），由此求得公比q= 的值．
（Ⅱ）由 a1-a3=3和q=-可得a1的值，从而求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）求出数列{nan}的前n项的和Tn =4[1+2（-）+3+…+n，用错位相减法求出前n项的和Tn 的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意S1，S3，S2成等差数列，可得2（a1+a2+a3）=a1+（a1+a2），
即 2a3 +a2=0，∴等比数列{an}的公比q==-．
（Ⅱ）∵a1-a3=3，∴=3，再由q=-可得 a1=4，an =4．
（Ⅲ）数列{nan}的前n项的和Tn =a1+2a2+3a3+…+nan =4[1+2（-）+3+…+n，
- Tn =4[（-）+2+3+…+n ]，
∴Tn =4[1+（-）+++…+-n ]，
∴Tn =×[-n]=×[-n ]．