Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间和极值．

Answer

（I）利用偶函数的定义可得b=0，利用函数过点（2，5），可得c=1；
（II）先求函数g（x）的导函数g′（x），再将曲线y=g（x）有斜率为0的切线问题转化为g′（0）=0有实数解问题，最后利用一元二次方程根的性质求得a的范围即可；
（III）先利用已知极值点计算a的值，进而解不等式g′（x）＞0得函数的单调递增区间，g′（x）＜0得函数的单调递减区间，再由极值定义计算函数的极大值和极小值即可
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x）即有
（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c 解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1
∴b=0，c=1
（Ⅱ）∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a．从而g′（x）=3x2+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a2-12≥0解得 a∈（-∞，-]∪[，+∞）   
所以实数a的取值范围：a∈（-∞，-]∪[，+∞）
（Ⅲ）∵x=-1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2，
∴g（x）=x3+2x2+x+2．
又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=-1，x2=-
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当x∈（-1，-）时，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-）上为减函数
当x∈（-，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-，+∞）上为增函数
函数y=g（x）的极大值点为-1，极大值为g（-1）=2，极小值点为，极小值为g（-）=