Question

设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-2，0）∪（0，2）

Answer

根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，得到0＜x＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x＜-2．
【解析】
∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
不等式，即
也就是xf（x）＞0
①当x＞0时，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②当x＜0时，有f（x）＜0
∵-x＞0，f（x）=f（-x）＜f（2），
∴-x＞2⇒x＜-2
综上所述，原不等式的解集为：（-∞，-2）∪（0，2）
故选B