如图，四面体ABCD中，O．E分别为BD．BC的中点，且CA=CB=CD=BD=...

如图，四面体ABCD中，O．E分别为BD．BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= manfen5.com 满分网

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（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

（1）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，用运算的方式来证明结论．（2）取AC中点F，连接OF．OE．EF，由中位线定理可得EF∥AB，OE∥CD所以∠OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在Rt△AOC中求解．【解析】（1）证明：△ABD中 ∵AB=AD=，O是BD中点，BD=2 ∴AO⊥BD且=1 △BCD中，连接OC∵BC=DC=2 ∴CO⊥BD且 △AOC中AO=1，CO=，AC=2 ∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO ∴AO⊥平面BCD （2）取AC中点F，连接OF．OE．EF △ABC中E．F分别为BC．AC中点 ∴EF∥AB，且 △BCD中O．E分别为BD．BC中点 ∴OE∥CD且 ∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）又OF是Rt△AOC斜边上的中线∴ ∴等腰△OEF中

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等