Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer

（Ⅰ）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量，，设平面PBD的一个法向量为，根据可求出，最后根据点C到平面PBD的距离可求出所求；
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），根据NE⊥面PAC可得，求出N点的坐标，从而N点到AB、AP的距离．
【解析】
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而．…（2分）
设平面PBD的一个法向量为，则
即
令z=1，得=（，2，1）
所以点C到平面PBD的距离…（6分）
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，
由NE⊥面PAC可得，即
∴x=，z=1 …10 分
即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1， …（12分）