Question

椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x，0），利用，可得x2-x，y2），设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0，由此即可求得直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）
∵右焦点到直线的距离为，
∴
∴
∵椭圆的离心率为，
∴
∴
∴
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x，0）
∵，
∴x2-x，y2）
∴①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．
与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0②
∴③④
由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2-9=0
∴k2=1
此时②为5y2+2y-7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1