Question

如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大小．

Answer

（1）要证平面AEF⊥平面PBC，可通过证明AE⊥平面PBC得出．而要证AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，若证出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以证出．
（2）由（1），BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知为45°
（1）证：∵PA⊥平面ABC，又BC⊂面ABC∴PA⊥BC
又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，∴BC⊥平面PAB，又AE⊂面PAB
∴BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，∴AE⊥平面PBC
又AE⊂面AEF 故，平面AEF⊥平面PBC…6分
（2）由（1）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB∴PB⊥BC
又AB⊥BC，∴∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△PAB中，∵PA=AB，∴∠PBA=45°，即二面角P-BC-A的大小为45°．…12分．