Question

命题
①函数y=f（x）的图象与直线x=a最多有一个交点；
②函数y=-x²+2ax+1在区间（-∞，2]上单调递增，则a∈（-∞，2]；
③若，当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则；
④函数y=log₂（x²+ax+2）的值域为R，则实数a的取值范围是；
⑤函数y=f（1+x）与y=f（-x-1）的图象关于y轴对称；
以上命题正确的个数有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer

根据函数的定义可知，函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点时0个或1个；函数y=-x2+2ax+1的对称轴为：直线x=a，开口向下，因为函数在区间（-∞，2]上单调递增，所以a≥2；根据，可知函数的周期为4，所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），因为，f（1）=2，所以f（-1）=；根据函数y=log2（x2+ax+2）的值域为R，可知t=x2+ax+2可取遍一切正数，从而可求实数a的取值范围是；函数y=f（1+x）的图象是由函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到，y=f（-x-1）的图象是由y=f（-x）的图象向左平移一个单位得到，而y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（1+x）与y=f（-x-1）的图象关于x=1对称，故可判断．
【解析】
根据函数的定义可知，函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点时0个或1个，即最多有一个交点，故①正确；
函数y=-x2+2ax+1的对称轴为：直线x=a，开口向下．因为函数在区间（-∞，2]上单调递增，所以a≥2，故②错误；
∵，∴，∴函数的周期为4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），∵，当x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（1）=2，∴f（-1）=，故③正确；
∵函数y=log2（x2+ax+2）的值域为R，∴t=x2+ax+2可取遍一切正数，∴△=a2-8≥0，∴实数a的取值范围是，故④错误；
∵函数y=f（1+x）的图象是由函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到，y=f（-x-1）的图象是由y=f（-x）的图象
向左平移一个单位得到，而y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（1+x）与y=f（-x-1）的图象关于x=1对称，故⑤错误
故正确的命题是：①③
故选A．