Question

已知函数（a，b∈R）的图象过点（1，2），它的反函数的图象也过点（1，2）．
（1）求实数a，b的值，并求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性（不必证明），并解不等式f（2x-1）＞1．

Answer

（1）直接根据原函数与反函数之间的关系得到函数f（x）过点（1，2）和（2，1），得到关于a，b的两个等式，解方程即可求出a，b的值；再结合真数大于0求出其定义域，利用分离常数法求出真数的范围即可求出其值域．
（2）直接根据函数f（x）过点（1，2）和（2，1），得到其在（0，+∞）上为减函数；再结合f（2）=1把不等式转化为f（2x-1）＞f（2）即可求出不等式的解集．
【解析】
（1）依题意，函数f（x）过点（1，2）和（2，1），
则…（3分）
所以…（4分）
由，
∴f（x）的定义域为：（0，+∞）．…（6分）
令，
∵x＞0
∴t＞1，f（x）=log2t＞0
∴f（x）的值域为：（0，+∞）…（8分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（9分）
∵函数f（x）过点（2，1），
∴f（2）=1，
则f（2x-1）＞1=f（2）
∴
即不等式f（2x-1）＞1的解集为．…（14分）