Question

已知，x∈（1，+∞），f（2）=3
（1）求a；
（2）判断并证明函数单调性．

Answer

（1）由已知中函数的解析式，将x=2，f（2）=3代入构造a的方程，解方程可得答案．
（2）任取1＜x1＜x2，我们构造出f（x2）-f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x2）-f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
【解析】
（1）∵，x∈（1，+∞），f（2）=3
∴，
解得a=1．
（2）∴．
函数在区间（1，+∞）是单调减函数．理由如下：
设1＜x1＜x2，f（x2）-f（x1）=-=
因为1＜x1＜x2，，所以x1-x2＜0，x1-1＞0，x2-1＞0，
所以f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）
所以函数在区间（1，+∞）是单调减函数．