Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=x+b与C交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；
（2）是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组．利用抛物线的定义，可求弦AB的长；
（2）假设存在直线l：y=x+b使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1，k2，则α+β=135°，从而，其中，，由此即可求得结论．
【解析】
（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），代入直线l：y=x+b可得，∴直线l：y=x
设A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程可得，消去y得x2-18x+1=0，
∴x1+x2=18，
∴|AB|=x1+x2+p=18+2=20；
（2）假设存在直线l：y=x+b使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，设A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程可得
消去x得y2-8y+8b=0，
∴y1+y2=8，y1y2=8b
设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1，k2，则α+β=135°
∴，其中，
∴y1y2-16+4（y1+y2）=0，
∴8b-16+32=0，解得b=-2
代入△=64-32b=128＞0，满足题意
综上，存在直线l：y=x-2使得直线OA、OB倾斜角之和为135°．