Question

如图，在由圆O：x²+y²=1和椭圆C：=1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得•=，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据椭圆C：=1（a＞1）的离心率为，可得a2=3，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设存在直线l，使得•=，当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，由直线l与圆O相切，可得b2=k2+1，代入椭圆C的方程为，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2-3=0
设A（x1，y1）、B（x2，y2），进而利用•=，即可知存在直线l．
【解析】
（1）∵椭圆C：=1（a＞1）的离心率为，
∴
解得：a2=3，所以所求椭圆C的方程为         （5分）
（2）假设存在直线l，使得•=，
当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，
由直线l与圆O相切，可得b2=k2+1 …（1）（7分）
代入椭圆C的方程为，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2-3=0
设设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，
∴==…（2）
由（1）（2）可得k2=1，b2=2
故存在直线l，方程为，使得•=．