Question

已知函数f（x）=axlnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值；
（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）≥f（m+n）-a（m+n）ln2．

Answer

（Ⅰ）f'（x）=alnx+a（x＞0），当a＞0时f（x）单调递增区间为，单调递减区间为．当a＜0时f（x）单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）可得可以证得g'（x）≤0，∴g（x）是减函数，
∴g（x）≥g（m）=0
（Ⅰ）∵f'（x）=alnx+a（x＞0），
当a＞0时，令f'（x）≥0，即lnx≥-1=lne-1．
∴．，∴．
同理，令f'（x）≤0，可得．
∴f（x）单调递增区间为，单调递减区间为．
由此可知．无最大值．
当a＜0时，令f'（x）≥0，即lnx≤-1=lne-1．∴．，∴．
同理，令f'（x）≤0可得．
∴f（x）单调递增区间为，单调递减区间为．
由此可知．此时无最小值．
（Ⅱ）不妨设m≥n＞0，令n=x，
记

∵，∴，
∴g'（x）≤0，∴g（x）是减函数，
∵m≥x＞0，∴g（x）≥g（m）=0∴，即得证．