Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（2）=4．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）证明：f（x）在R上为单调递增函数；
（3）若有不等式成立，求x的取值范围．

Answer

（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先证明0＜f（x）＜1，再利用函数单调性的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，利用抽象表达式和已知函数性质证明f（x1）＜f（x2），即可得证；
（3）利用抽象表达式，先将不等式化为，再利用函数的单调性将不等式转化为分式不等式即可得解集
解（1）因为f（2+0）=f（2）•f（0），
所以4=4•f（0），
所以f（0）=1，
又因为4=f（2）=f（1+1）=f2（1），且当x＞0时，f（x）＞1，
所以f（1）=2
（2）当x＜0时，-x＞0，
所以f（-x）＞1，而f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x），
所以，
所以0＜f（x）＜1，
对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）（f（x1-x2）-1），
因为x1＜x2，
所以x1-x2＜0，
所以0＜f（x1-x2）＜1，
即f（x1-x2）-1＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上是单调递增函数
（3）因为，
所以，而f（x）在R上是单调递增函数，
所以，
即：，
所以，
所以x＜0，
所以x的取值范围是x＜0