Question

已知函数f（x）=a-．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先根据定义域确定函数，再选择证明方法，不妨用定义法，则先在（0，+∞）上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号．
（2）先将“a-＜2x在（1，+∞）上恒成立”转化为“a＜2x+，在（1，+∞）上恒成立”则只需a＜（2x+）min即可．
【解析】
（1）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-，
设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2-x1＞0．
f（x1）-f（x2）=（a-）-（a-）=-
=＜0．∴f（x1）＜f（x2），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由题意a-＜2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，∴a的取值范围为（-∞，3]．