Question

已知函数
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）求证：当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

Answer

（1）由a=-3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；
（2）当a≥1时，可以得到f′（x）≥0在R上恒成立，进而得到函数递增，再根据零点判定定理即可得到证明．
【解析】
∵
∴f′（x）=x2-2x+a；
（1）当a=-3时，f（x）=x3-x2-3x+3
故f'（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1）；
所以：当x≥3或x≤-1时，f'（x）≥0，f（x）递增；
当-1＜x＜3时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴x=-1，f（x）有极大值f（-1）=；
当x=3时，f（x）有极小值f（3）=-6．
（2）∵f′（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1；
当a≥1时，f′（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．