Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD=AB，PD⊥底面ABCD，M，N，Q分别在PB，AC，PC上，且
（1）求证：平面MNQ∥平面PAD．
（2）求直线PB与平面面MNQ所成角的正弦值．

Answer

（1）要证平面MNQ∥平面PAD，可由⇒MQ∥BC⇒MQ∥平面PAD．同理NQ∥平面PAD证出．
（2）由（1），直线PB与平面面MNQ所成角等于直线PB与平面PAD所成角．证出BA⊥平面PAD，∠BPA为直线PB与平面MNQ所成角，
（1）证明：⇒MQ∥BC，∵BC∥AD，∴MQ∥AD，
MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD．
同理⇒NQ∥AP，NQ⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD．
MQ，NQ⊂平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD．
（2）【解析】
由（1），直线PB与平面面MNQ所成角等于直线PB与平面PAD所成角．
∠BPA为直线PB与平面PAD所成角，
设正方形ABCD边长为1，则PD=AB=1，直角三角形△PDA斜边PA=，直角三角形△BPA斜边PB=，
sin∠BPA===．