Question

函数在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是    ．

Answer

先将函数在（1，2）上存在单调递增区间的问题转化为其导函数f′（x）＞0在（1，2）上能成立问题，再将导函数的分子看做新函数g（x），通过导数讨论其图象性质即可得g（x）＞0在（1，2）上能成立时a的范围
【解析】
=  （x＞0）
设g（x）=2x3+ax+1，则g′（x）=6x2+a
若a≥-6，则因为6x2＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上为增函数
若-24＜a＜-6，则由g′（x）=0，得x=±且2＞＞1
∴g（x）在（1，）上是减函数，在（，2）上为增函数
要使函数在（1，2）上存在单调递增区间
只需g（x）＞0在（1，2）上能成立
只需g（1）=3+a＞0，或g（2）=17+2a＞0
即a＞-，此时-＜a＜-6
若a≤-24，则因为24＞6x2＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＜0，从而f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上为减函数，不合题意
综上所述，函数在（1，2）上存在单调递增区间的充要条件是a∈（-，+∞）
故答案为a∈（-，+∞）