Question

设f（x）为二次函数，且f（1）=1，f（x+1）-f（x）=1-4x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．

Answer

（1）设出f（x）=ax2+bx+c，利用待定系数法求得a、b、c的值即可；
（2）可求得g（x）=-2x2+2x-a，g（x）在实数R上没有零点，⇔△=4-8a＜0，从而可求得a的取值范围．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（2分）
则f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）-f（x）=1-4x
∴2ax+a+b=1-4x对一切x∈R成立．
∴（5分）
∴，
又∵f（1）=1，
∴a+b+c=1，
∴c=0．
∴f（x）=-2x2+3x（8分）
（2）g（x）=f（x）-x-a=-2x2+2x-a，（10分）
函数g（x）在实数R上没有零点，
故△=4-8a＜0，（13分）
解之得（15分）