Question

已知函数f（x）=a-在R上是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性．

Answer

（Ⅰ）直接根据定义在R上的奇函数满足f（0）=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）直接根据单调性的定义证明即可．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=a-在R上是奇函数
∴f（0）=0，…（2分）
即a-=0
∴a=1，此时f（x）=1-…（4分）
经检验，当a=1时，f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函数，证明如下
∵f（x）=1-
任取x1，x2∈R，，且x1＜x2…（7分）
则f（x1）-f（x2）=…（10分）
∵x1＜x2
∴，（）（）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是增函数．…（13分）