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已知函数f (x+1)是奇函数,f (x-1)是偶函数,且f (0)=2,则f ...

已知函数f (x+1)是奇函数,f (x-1)是偶函数,且f (0)=2,则f (2012)=( )
A.-2
B.0
C.2
D.3
先根据函数f(x+1)为奇函数得到f(x+1)=-f(-x+1);再结合函数f(x-1)是偶函数得到f(x-1)=f(-x-1),联立可求函数的周期,然后把所求的f(2012)转化可求即可得到答案. 【解析】 因为函数f(x+1)为奇函数 所以有:f(x+1)=-f(-x+1) 令t=x+1可得f(t)=-f(2-t) ∵函数f(x-1)是偶函数 ∴f(x-1)=f(-x-1),令x-1=t,则可得,f(t)=f(-t-2) ∴f(-t-2)=-f(-t+2) 令-t-2=m,则f(m)=-f(m+4),f(m+8)=f(m)即函数以8为周期的周期函数 ∴f(2012)=f(4)=-f(0)=-2 故选A
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