Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（3）求点B到平面PDE的距离．

Answer

分析：（I）由题意，利用三角形相似及角的互余得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理求出线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理证出面面垂直；
（II连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，利用面面垂直及三垂线定理求出直线PC与平面PDE所成角，然后再三角形中解出直线PC与平面PDE所成角的大小；
（III）利用线面垂直的性质及直角三角形求出点到面的距离．
【解析】
（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，
则△DAE≌△FBE，∴BF=AD=1，∴CF=4，∴，
又∵，∴∠F=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACF=90°，∴∠F+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE
又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，
∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC
（Ⅱ）连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，
又由（Ⅰ）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，
根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，
∴∠CPG即为直线PC与平面PDE所成角
在Rt△DCA中，CG==
在Rt△PCG中，tan∠CPG==
∴sinα=，即直线PC与平面PDE所成角
的正弦值为
（Ⅲ）由于 ，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的 ，即 ．在Rt△PCG中，，
从而点B到平面PDE的距离等于 ．