Question

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由条件知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹E的方程即可．
（2）分直线的斜率存在于不存在，进行分类讨论．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用即可求得m值，从而解决问题．
【解析】
（1）∵点P满足||PF1|-|PF2||=2，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
∵F2（-2，0），F2（2，0），
∴c=2
∵a=1，∴b2=c2-a2=3
∴轨迹方程为；
（2）假设存在点M（m，0），使得无论怎样转动，都有•=0成立
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，
∴解得k2＞3．
∵
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）
=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2
=
=．
∵，
∴3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，
∴，解得m=-1．
∴当m=-1时，．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，．