Question

已知函数f（x）=2^x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值和最小值．

Answer

（1）由f（x）=2x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定义域．
（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．由2x∈[1，2]，能求出函数g（x）的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=2x，
∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．（3'）
因为f（x）的定义域是[0，3]，
所以，
解之得0≤x≤1．
于是 g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）
（2）设g（x）=（2x）2-4×2x
=（2x-2）2-4．（8'）
∵x∈[0，1]，
即2x∈[1，2]，
∴当2x=2即x=1时，
g（x）取得最小值-4；（10'）
当2x=1即x=0时，
g（x）取得最大值-3．（12'）