Question

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．

Answer

（1）利用赋值法，令y=-1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）先利用赋值法求得f（3）=，再利用函数的单调性解不等式即可
【解析】
【解析】
（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
∴f（x）为偶函数．
（2）若x≥0，则f（x）==•=[]2≥0．
若存在x＞0，使得f（x）=0，则，与已知矛盾，
∴当x＞0时，f（x）＞0
设0≤x1＜x2，则0≤＜1，
∴f（x1）==•f（x2），
∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
∴0≤＜1，
∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，
∴9=[f（3）]3，
∴f（3）=，
∵f（a+1）≤，
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），
∵函数在[0，+∞）上是增函数．
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，
故0≤a≤2．