Question

如果关于实数x的方程的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（ ）
A．{a|-2≤a≤2}
B．{a|a≤0或a=2}
C．{a|a≥2或a＜-2}
D．{a|a≥0或a=-2}

Answer

原条件有且仅有一个正实数解，令，t的符号与x的符号一致，则a=-t3+3t有且仅有一个正实数解，然后通过导数研究函数的单调性和极值，画出函数图象，结合图象可求出a的取值范围．
【解析】
关于实数x的方程的所有解中，仅有一个正数解有且仅有一个正实数解．
令，t的符号与x的符号一致，则a=-t3+3t有且仅有一个正实数解，
令f（t）=-t3+3t（t≠0），
f′（t）=-3t2+3，由f′（t）=0得t=1或t=-1．
又t∈（-1，1）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（1，+∞）时，
f′（t）＜0．所以[f（t）]极大值=f（1）=2．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象即可．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．
故选B．