Question

定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

Answer

（1）当m=1时，=，易求值域f（x）∈（0，1），并判断为f（x）在（-∞，0）上是为有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．转化为不等式（组）恒成立问题．
【解析】
（1）当m=1时，=
∵x＜0，∴0＜2x＜1，
∴f（x）∈（0，1），满足|f（x）|≤1，
f（x）在（-∞，0）上是为有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，即-3≤≤3，
化简得，即

上面不等式组对一切x∈[0，1]都成立，
故取，即m≤-2或m．