Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：是等差数列；
（Ⅲ）若，求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）先根据已知条件推得数列的递推关系式，再把2，3代入即可；
（Ⅱ）直接根据条件推得结论；
（Ⅲ）先求出数列的通项，再利用错位相减法以及裂项法求和即可．
【解析】
∵各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且．
∴an+1•an（an+1+an）+（an+1+an）（an+1-an）=0
（an+1+an）（an+1•an+an+1-an）=0
∴an+1•an+an+1-an=0
∴+1=0；
∴=1．①
（Ⅰ）∴=1+=2
∴a2=；
同理：a3=．
（Ⅱ）由①得是首项为1，公差为1的等差数列；
∴=1+（n-1）×1=n；
∴an=．
（Ⅲ）∴=•2n+；
{n•2n}的和
Sn=1•21+2•22+…+n•2n …①，
2Sn=2•21+3•22+…+n•2n+1 …②，
∴①-②得
-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
∴-Sn=-n×2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1+2；
{}的和为：Tn=（1-）+（）+…+（）=1-=．
∴数列{bn}的前n项和为：Sn+Tn=（n-1）2n+1+2+．．