Question

设函数，则下列结论正确的是（ ）
①f（x）的图象关于直线对称
②f（x）的图象关于点对称
③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．
A．③
B．①③
C．②④
D．①③④

Answer

研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断①②④的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明③正确
【解析】
①∵2×+=π，x=π不是正弦函数的对称轴，故①错误；
②∵2×+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故②错误；
③f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故③正确；
④由x∈，得2x+∈[，]，∵[，]不是正弦函数的单调递增区间，故④错误；
故选A