Question

设关于x的函数f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为R上的常数，若函数f（x）在x=1处取得极大值0．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围；
（3）设函数，若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，求实数p的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，利用函数f（x）在x=1处取得极大值0，可得，从而可求实数m的值；
（2）由（1）知，可知函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而当x=1时，函数f（x）取得最大值，进而可知f（x）＜0，从而得当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，
（3）构造函数，对p讨论：p=0与p≠0即可得出结论．
【解析】
（1）=
因为函数f（x）在x=1处取得极大值0
所以，解m=-1
（2）由（1）知，令f'（x）=0得x=1或（舍去）
所以函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
所以，当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，
（3）设
当p=0时，，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-2＜0不成立，（舍）
当p≠0时
当，即-1＜p＜0时，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-2p-2＜0，不成立
当，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以，此时p＜-1
当p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；
当p＞0时，F（1）=-2p-2＜0不成立，
综上，p≤-1