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已知f(x)=x2-2ax+5(a>1) (Ⅰ)若f(x)的定义域和值域均为[1...

已知f(x)=x2-2ax+5(a>1)
(Ⅰ)若f(x)的定义域和值域均为[1,a],求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求a的取值范围.
(I)由f(x)的对称轴是x=a知函数在[1,a]递减,列出方程组即可求得a值; (II)先由f(x)在区间(-∞,2]上是减函数得a≥2,当f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值时不等式恒成立.从而函数在区间[1,a+1]上的最小值是f(a)=5-a2得出函数的最大值是f(1)最后结合|f(x1)-f(x2)|≤4知(6-2a)-(5-a2)≤4,解得a的取值范围即可. 【解析】 f(x)=(x-a)2+5-a2 (I).由f(x)的对称轴是x=a知函数在[1,a]递减, 故,解可得a=2 (II)由f(x)在区间(-∞,2]上是减函数得a≥2, 当f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值时不等式恒成立. 故函数在区间[1,a+1]上的最小值是f(a)=5-a2, 又因为a-1≥(a+1)-a,所以函数的最大值是f(1)=6-2a, 由|f(x1)-f(x2)|≤4知(6-2a)-(5-a2)≤4,解得2≤a≤3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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