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在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E...

在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EF⊥CD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如图二).
(1)求证:BF∥平面ACD;
(2)求多面体ADFCBE的体积.

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(1)先证明BCFE为正方形,AE和DF都垂直于平面BCFE,设O是正方形BCFE的中心,取AC得中点为H,证明四边形OHDF为矩形,OF平行于DH,再由直线和平面平行的判定定理可得OF∥平面ACD,即BF∥平面ACD. (2)把多面体ADFCBE分成两个棱锥:三棱锥A-BCE 和四棱锥C-AEFD,分别求出 VA-BCE和 VC-AEFD 的值,相加即得所求. 【解析】 (1)证明:∵直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,EF⊥CD,垂足为F,∴BCFE为正方形. 设BF和CE的交点为O,则O是正方形BCFE的中心. 再由平面ADFE垂直于平面FEBC,可得AE和DF都垂直于平面BCFE. 取AC得中点为H,则由三角形的中位线性质可得OH平行且等于AE的一半,故OH平行且等于DF,故四边形OHDF为矩形,故OF平行于DH. 再由DH⊊平面ACD,OF不在平面ACD内,故OF∥平面ACD,即BF∥平面ACD. (2)把多面体ADFCBE分成两个棱锥:三棱锥A-BCE 和四棱锥C-AEFD, 由题意可得CF⊥平面AEFD,AE⊥平面BCFE. ∴VA-BCE=S△BCE•AE=××BC•BE•AE==. VC-AEFD=×SAEFD•CF=×(AE+DF)•EF•CF=×(2+1)×2×2=2, 故多面体ADFCBE的体积为 VA-BCE+VC-AEFD=+2=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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