Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x²+y²-3x+4y=0的圆心C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆交于A，B两点，点P（0，）且|PA|=|PB|，求直线的方程．

Answer

（1）圆C：x2+y2-3x+4y=0的圆心C（1，-2），设椭圆方程为，依题意有，由此能求出椭圆方程．
（2）由，得（k2+2）x2+2kx-5=0，由△=4k2+20（k2+2）=24k2+40＞0，知直线与椭圆必有两个不同的交点，设两交点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（），由此入手，能够求出直线方程．
【解析】
（1）圆C：x2+y2-3x+4y=0的圆心C（1，-2），
设椭圆方程为，
依题意有，解得，
∴椭圆方程为．
（2）由，得（k2+2）x2+2kx-5=0，
∴△=4k2+20（k2+2）=24k2+40＞0，
故直线与椭圆必有两个不同的交点，
设两交点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（），
∴，，
∴，，
∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
①当k=0时，直线l：y=1，此时A，B关于y轴对称，满足PM⊥AB；
②当k≠0时，==-1（k≠0），
解得k=1或k=-1，
∴直线l：y=x+1或y=-x+1．
综上所述，直线l的方程为y=1或y=x+1或y=-x+1．