Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，代入可求a
（2）证明：由（1）可得f（x）=，利用定义，任取x1＜x2，只要检f（x1）-f（x2）的符号即可判断
（3）由不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立，及f（x）是R上的奇函数且是R上的减函数，可得3t2-2t＜k对t∈[1，2]恒成立．
方法一：由题意可得k＞（3t2-2t）max，t∈[1，2]，结合二次函数的性质先求出g（x）的最大值，即可求k的范围
方法二：令g（t）=3t2-2t-k，要使3t2-2t-k＜0对t∈[1，2]恒成立，只需即可
（1）【解析】
因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，
∴，
∴…（2分）
（2）f（x）是R上的减函数．理由如下：
任取x1，x2∈R，x1＜x2，，
∵x1＜x2，∴，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），所以f（x）是R上的减函数．…（6分）
（3）若不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立，∴f（t2-2t）＞-f（2t2-k），又f（x）是R上的奇函数，所以f（t2-2t）＞f（k-2t2）…（8分）
又f（x）是R上的减函数，所以t2-2t＜k-2t2对t∈[1，2]恒成立．
即3t2-2t＜k对t∈[1，2]恒成立．…（10分）
方法一：∴k＞（3t2-2t）max，t∈[1，2]，
设时g（t）是t的增函数，
所以g（t）max=g（2）=8，
所以k＞8…（12分）
方法二：g（t）=3t2-2t-k，要使3t2-2t-k＜0对t∈[1，2]恒成立，只需即可
所以，所以k＞8…（12分）
综上：存在实数k∈（8，+∞）时，对于任意t∈[1，2]，
不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立．…（12分）