Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n＞0，．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1，a2，a3；
（2）猜想：an=n，由2Sn=an2+n可知，当n≥2时，2Sn-1=an-12+（n-1），所以an2=2an+an-12-1再用数学归纳法进行证明；
【解析】
（1）分别令n=1，2，3，得

∵an＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．
（2）由（1）的结论：猜想an=n
1）当n=1时，a1=1成立；
2）假设当n=k时，ak=k．
那么当n=k+1时，
∵2Sk+1=ak+12+k+1，∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，
∴ak+12=2ak+1+2Sk-（k+1）=2ak+1+（k2+k）-（k+1）=2ak+1+（k2-1）⇒[ak+1-（k+1）][ak+1+（k-1）]=0．
∵ak+1+（k-1）＞0，∴ak+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，
故对于n∈N*，均有an=n．