Question

已知函数．
（1）求函数f（x）在（0，2）上的最小值；
（2）设g（x）=-x²+2mx-4，若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求导函数，确定函数f（x）在（0，2）上的单调性，从而可得函数f（x）的极小值，即可求出最小值；
（2）由（1）知，f（x）min=对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于-x2+2mx-4，x，∈[1，2]恒成立，利用分离参数法及基本不等式，即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）求导函数，可得
∵0＜x＜2，令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜1
∴函数f（x）在（0，2）上的单调递增区间是（1，2），单调递减区间是（0，1）
∴函数f（x）在x=1处，取得极小值，且为最小值
（2）由（1）知，f（x）min=
对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于-x2+2mx-4，x，∈[1，2]恒成立．
∴，x，∈[1，2]恒成立．
∵，当且仅当，即时取等号
∴
∴实数m的取值范围为