Question

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-mf（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈（1，e²）时，恒有＞x成立．

Answer

（1）由题设g（x）=x2-mlnx，则，由已知g′（1）=0，得m=2，于是，由此能求出m的值及函数h（x）的单调区间．
（2）当x∈（1，e2）时，0＜lnx＜2，欲证，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证f（x）．由此能够证明当x∈（1，g2）时，恒有＞x成立．
【解析】
（1）由题设g（x）=x2-mlnx，则，
由已知g′（1）=0，即2-m=0，则m=2，
于是，则，
当＞0时，x＞1，
当＜0时，0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（2）当x∈（1，e2）时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲证，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
即证f（x）．
设F（x）=f（x）-=lnx-，
则=，
当1＜x＜e2时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（1，e2）上为增函数，
从而当x∈（1，e2）时，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞，
故．