Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=，结合b2=a2-c2，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（-1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=-1，以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），将直线方程与椭圆方程联立，利用以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以•=0，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由已知e==，即c2=a2，b2=a2-c2=a2，
∴
∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），
∴
∴a2=2，∴b2=1，
∴椭圆C的方程为+y2=1．
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（-1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．
当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=-1，代入+y2=1得y=±，可知M（-1，），N（-1，）
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）
由，可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0
∴x1+x2=，x1•x2=，
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以•=0．
可得x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+1）•k（x2+1）=（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0．
∴（1+k2）×+k2×+k2=0．
∴k=±2
综上所述，过点B（-1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，
方程为y=2x+2或y=-2x-2．