Question

△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若函数，求函数f（x）的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式的右边，再根据余弦定理表示出cosA，将化简得到的关系式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）将A的度数代入f（x）解析式中，前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sinx的二次函数，根据x的范围，利用正弦函数的图象与性质得到sinx的范围，利用二次函数的性质即可得到函数f（x）的值域，即为f（x）的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由=，得=，
即a2=b2+c2-bc，即bc=b2+c2-a2，
∴=，
又根据余弦定理得到cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=；…（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2（x+A）-sin2（x-A）+sinx
=cos2（x+）-sin2（x-）+sinx
=-+sinx
=sin2x+sinx-=（sinx+）2-，
∵x∈[0，]，
∴sinx∈[0，1]，
则根据二次函数性质得到函数f（x）的取值范围[-，]．…（13分）