Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer

（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，从而f（x）=ax-a-x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为x2+2x＞4-x，从而可求不等式的解集；
（2）根据f（1）=确定a=2的值，从而可得函数g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2．令t=f（x）=2x-2-x，由（1）可知f（x）=2x-2-x为增函数，可得t≥f（1）=，令h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2 （t≥），分类讨论，利用最小值为-2，可求m的值．
【解析】
（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
故f（x）=ax-a-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=axlna+
∵a＞1，∴lna＞0，而ax+＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增
原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4-x），
∴x2+2x＞4-x，即x2+3x-4＞0
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．
（2）∵f（1）=，∴a-=，即2a2-3a-2=0，∴a=2或a=-（舍去）．
∴g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2．
令t=f（x）=2x-2-x，由（1）可知f（x）=2x-2-x为增函数
∵x≥1，∴t≥f（1）=，
令h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2 （t≥）
若m≥，当t=m时，h（t）min=2-m2=-2，∴m=2
若m＜，当t=时，h（t）min=-3m=-2，
解得m=＞，舍去
综上可知m=2．