Question

若函数y=f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x-1．在y=f（x）的图象上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为（0，a）（其中2＜a＜3），
（1）求当x∈[1，2]时，f（x）的解析式；
（2）定点C的坐标为（0，a）（其中2＜a＜3），求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）由f（x）是以2为周期的周期函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x-1，知当x∈[0，1]时，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1．由f（x）是偶函数，知当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x+1．由此能求出当x∈[1，2]时，f（x）的解析式．
（2）设A、B的横坐标分别为3-t，t+1，1≤t≤2，则|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，故△ABC的面积为S=（2t-2）•（a-t）=-（t-）2+，由此能求出S最大值．
【解析】
（1）∵f（x）是以2为周期的周期函数，
当x∈[2，3]时，f（x）=x-1，
∴当x∈[0，1]时，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1．…（1分）
∵f（x）是偶函数，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x+1，…（2分）
当x∈[1，2]时，f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=-x+3．…（4分）
（2）设A、B的横坐标分别为3-t，t+1，1≤t≤2，
则|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，…（6分）
∴△ABC的面积为S=（2t-2）•（a-t）
=-t2+（a+1）t-a（1≤t≤2）
=-（t-）2+，
∵2＜a＜3，∴＜＜2．
当t=时，S最大值=．…（12分）