Question

设圆C与两圆（x+）²+y²=4，（x-）²+y²=4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标．

Answer

（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|-|FT1||=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|-|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|-|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|-|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标．
【解析】
（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（-，0）、F2（，0），
由题意得：|CF1|+2=|CF2|-2或|CF2|+2=|CF1|-2，
∴||CF2|-|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，
因此a=2，c=，则b2=c2-a2=1，
所以轨迹L的方程为-y2=1；

（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x-），
即y=-2（x-），代入-y2=1，解得：x1=，x2=，
故直线l与双曲线L的交点为T1（，-），T2（，），
因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|-|FT1||=|MF|==2，
||MT2|-|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|-|FP|＜|MF|=2，
综上所述，|MP|-|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，-）．