Question

如图，△PAB是边长为2的正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，设BC=a．
（1）若a=，求直线PC与平面ABCD所成的角；
（2）设M为AD的中点，求当a为何值时，PM⊥CM？

Answer

（1）设H是AB的中点，连接PH，CH．容易证明PH⊥平面ABCD，所以∠PCH为直线PC与平面ABCD所成的角，在RT△PCH中求解即可．
（2）连接MH，当且仅当CM⊥HM时，会有PM⊥CM．在△HNC中利用勾股定理得出关于a的方程并求解即可．
【解析】
（1）如图，设H是AB的中点，连接PH，CH．

∵△PAB是边长为2的正三角形，
∴PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，∠PCH为直线PC与平面ABCD所成的角，
在RT△PCH中，PH=，CH==，
∴∠PCH=45°
（2）由（1）PH⊥平面ABCD，所以PH⊥CM，连接MH，如图

当CM⊥HM时，会有CM⊥平面PNH，从而PM⊥CM．
由于在△HNC中，，，HC2=HB2+BC2=a2+1，
由勾股定理得出+=a2+1，解得a2=8，a=2．