Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，，n∈N*．
（1）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n（a_n+1-2），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2；
（3）设c_n=n²（a_n-2），求c_nc_n+1的最大值．

Answer

（1）由，，由此能够证明数列为等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．
（2），所以当n≥2时，，由此能证明Sn＜2．
（3），令，所以[（n+2）2-4n2]2n＞（n+2）2-n2，解得n=1，由此能够求出cncn+1的最大值．
（1）证明：∵，（2分）
又，
∴等比数列，且公比为2，（3分）
∴，
解得．（4分）
（2）证明：，（5分）
∴当n≥2时，（6分）

=
=．（8分）
（3）【解析】
（9分）
令，（10分）
∴[（n+2）2-4n2]2n＞（n+2）2-n2，（11分）
∴（3n+2）（2-n）2n＞4n+4，
解n=1．
．（12分）
所以：c1c2＜c2c3＞c3c4＞…
故．（14分）